차분방정식 예제

일반 미분 방정식(자주 „ODE“, „diff eq“ 또는 „diffy Q“라고 함)은 함수와 그 파생 함수를 포함하는 같음입니다. 순서의 ODE는 양식의 방정식입니다 우리는 또한 이러한 솔루션의 많은 유효성의 간격에 대해 걱정해야합니다. 유효 기간의 간격은 솔루션이 유효한 경우 독립 변수 (x)의 범위입니다. 즉, 0, 복잡한 숫자, 음수 또는 0의 로그 로그로 구분을 피해야 합니다. 분리 가능한 미분 방정식에서 얻을 수 있는 대부분의 솔루션은 (x)의 모든 값에 대해 유효하지 않습니다. 1차 선형 비균질성 ODI(일반 미분 방정식)는 분리할 수 없습니다. 통합 팩터 메서드라고 하는 다음 접근 방식으로 해결할 수 있습니다. 일반적인 형식의 1차 선형 ODI를 고려하십시오: 통합 장의 차등 섹션에서 회상하여 차등은 실제로 분수 형식으로 작성되지 않은 파생 방법으로 생각할 수 있습니다. 이것은 미분 방정식을 해결하는 방법의 전체 목록은 아니지만 시작해야합니다 :이 시점에서 우리는 (희망) 양쪽을 통합 한 다음 왼쪽에있는 (u)를 다시 대체 할 수 있습니다.

이전 문장에서 암시한 것처럼 이 시점에서 적분 중 하나 또는 둘 다를 실제로 평가하지 못할 수도 있습니다. 이 경우 미분 방정식을 해결하기 위해이 방법을 사용하여 진행하기 위해 할 수있는 일이 많지 않습니다. 아날로그 솔루션. 일부 미분 방정식은 아날로그 컴퓨터에서 쉽게 해결할 수 있습니다. 이들은 매우 빠르며 `실시간` 제어 문제에 적합합니다. 그들의 단점은 제한된 정밀도이며 아날로그 컴퓨터는 이제 드뭅니다. 아래에서 는 공통 방정식의 솔루션에 대한 두 가지 예를 보여 주십니다. 그들은 단지 상수 계수를 가지고 있기 때문에, 간단하지만, 그들은 당신이 첫 해 물리학에서 발생하는 것들이다.

이러한 방정식은 위의 여러 방법으로 해결할 수 있지만 두 가지 기술만 설명합니다. 변환. 일부 미분 방정식은 수학적으로 변환할 때 쉽게 해결할 수 있습니다. 이것은 Laplace 변환의 주요 용도입니다. 참고 1 : 우리는 이제 미분 방정식으로 (간단한) 예제를 작성하고 있습니다. 이전에는 이 예제를 다음과 같은 기본 정수로 작성했습니다. 2 y ` = sin (2x) 예제 2에 대한 솔루션 : 양식 y ` = f (x)의 미분 방정식을 작성합니다. y ` = (1/2) 죄 (2x) 양면 y `dx = (1/2) 죄 (2x) dx 하자 U = 2 x 그래서 du = 2 dx, 오른쪽은 y = (1/4) sin(u) du가 제공합니다. y = (-1/4) cos (u) = (-1/4) cos (2x) 이 미분 방정식은 분리 할 수 있다는 것이 분명합니다. 따라서 미분 방정식을 분리하고 양쪽을 통합해 보겠습니다. 선형 첫 번째 순서와 마찬가지로 공식적으로 우리는 동등한 기호의 각 측면에 있는 적분에서 양쪽에 일정한 통합을 선택할 것입니다.

두 가지는 같은 쪽으로 이동하고 서로 흡수 될 수있다. 우리는 결국 (y)에 대해 해결될 것이므로 상수는 어쨌든 그 쪽에서 끝날 것이라는 점을 감안할 때 (x)와 함께 단일 상수를 측면에 두는 규칙을 사용합니다. 이제 위의 프로세스는 이 미분 방정식을 해결하는 수학적으로 올바른 방법입니다. 그러나 미분도 „분리“하면 미분 방정식을 작성할 수 있습니다.

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